>Монголы воевали и в Северном и Южном Китае против обоих государств населением около 100 млн. или же только против чжурчженей?
Монголы воевали сначала с чжурчженями и только потом с Сун. Причем, ЕМНИП, Сун вела войну с чжурчженями (Цзинь) одновременно с монголами.
>Китайцы Северный Китай при династии Цзинь не считают Китаем?
Он не считается "единым Китаем".
> Или взаимодействие с динасиеей Сун не является заслугой дипломатии?
Да какая там заслуга, если Цзинь и Сун регулярно воевали еще до монгольского вторжения?